什么是无穷小？

无穷小数学符号记为 $\epsilon$ , 它的数学性质应该满足：
对于任意给定实数 $\gamma$>0，都满足 0<|$\epsilon$|<$\gamma$。很明显，无穷小是数学概念，并不可能存在于实数域中。
以极限形式定义会得到更加简洁直观的表达：满足$\lim\limits_{x\to c}f(x) = 0$ 的 $f(x)$ 是 $x\to c$ 时的无穷小。

无穷小有一个重要的隐含性质，即参考系无关，类似物理定律，在任意参照物系统里面，都绝对成立。
那么无穷小到底是一个数么？以反证法来说明，如果无穷小是一个数，那么这个数一定不会小于它本身，则违反了上述无穷小定义公式，所以无穷小并不是一个数。
实际上，在经典的极限和微积分定义中，无穷小通常是以函数、数列形式表达，可以自由表达。

关于0 and 无穷小

0，你可以看成是常数，也可以是常数函数 $f(x)=0$ 或者常数数列 $ ${$0, 0, 0, …$}$ $，都符合无穷小的定义，绝对值小于任意正实数。
无穷小与0一个最重要的区别是数学上，无穷小可以用作除法，两个相关（相关的意义是具有函数关系）的无穷小的比值就是这个函数的导数。

无穷小 and 物理

数学意义上的无穷小，是一个混乱且容易引起歧义的量，正在逐渐消失在视野；但是在屋里中，这个无穷小确是切实存在的。
物理学的意义是用数学描述现实世界的科学，一个重要区别是数学本质是连续的，数学上的离散化是在连续基础上界定和设计出来，而物理学对现实世界的描述过程中，引发了多次革命，最为重要的一次革命就是现实世界的离散化（量子化），而这个离散化后的常量值就是物理世界中的无穷小，即普朗克常数。

** 刚开始逼着写博客，有点累，休息了。实际上未完。。。 **